Open Access
Numéro
Climatologie
Volume 5, 2008
Page(s) 27 - 47
DOI https://doi.org/10.4267/climatologie.714
Publié en ligne 9 octobre 2015

© Association internationale de climatologie 2008

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Introduction

L’interpolation permet de restituer des champs continus à partir de variables mesurées ponctuellement. Cette opération n’est pas simple et l’une des principales difficultés consiste à choisir la méthode qui fournit les meilleures estimations. Deux familles se sont dégagées au fil du temps pour la qualité de leurs résultats : le krigeage et les régressions (Cressie, 1993). Compte tenu des contraintes statistiques qui leur sont associées, ces méthodes ne sont pas interchangeables et ne fournissent pas des résultats optimaux partout : le krigeage est plutôt bien adapté quand les variables présentent une forte autocorrélation, là où, concernant les températures par exemple, une topographie douce engendre des gradients thermiques réguliers. En revanche, les régressions fournissent de meilleurs résultats lorsque, pour reprendre l’exemple des températures, un relief animé commande leur variation spatiale. Il est possible aussi d’enchaîner une méthode après l’autre : en krigeant les résidus d’une régression, on améliore souvent les résultats. Face aux possibilités offertes, les critères de choix ne sont donc pas toujours évidents, même lorsque les secteurs géographiques concernés paraissent homogènes.

La situation se complique encore lorsque plaines et montagnes se juxtaposent sur des territoires d’une certaine ampleur. Tel fut le cas d’une recherche pluridisciplinaire dont l’objectif était d’estimer « le prix du climat » à l’échelle de la France. Il fallait disposer d’une information climatique continue sur l’ensemble du territoire national pour pouvoir apparier données économiques et climatiques. Or, ces dernières étant ponctuelles, il était indispensable de les interpoler en mettant en rapport variables expliquées, celles du climat, et variables explicatives (latitude, longitude, données géographiques et environnementales décrivant le relief et l’occupation du sol). Pour éclairer cette question, nous avons testé trois méthodes d’interpolation globales : régressions, krigeage, régressions suivies d’un krigeage des résidus. Ensuite, nous avons confronté les résultats obtenus à ceux d’une quatrième méthode fondée sur l’interpolation locale. Les résultats de cette expérience sont présentés ici.

Une première section fait état des données utilisées. La deuxième section présente les quatre méthodes avec leurs caractéristiques majeures. Le principe de la méthode d’interpolation locale sera précisément décrit à partir d’un jeu de données sur la durée d’insolation; cette variable a été choisie car elle a été enregistrée en 111 stations seulement; ce qui simplifiera notre exposé. Dans une troisième section, l’ensemble de la démarche est reprise et appliquée à la température mesurée en 651 stations en vue de comparer les résultats issus des quatre méthodes; l’écart type des résidus servira à cet effet. Une quatrième section sera consacrée aux développements spécifiques que permet la méthode d’interpolation locale, à savoir la cartographie de la constante et du coefficient de corrélation attaché à chacune des variables explicatives intégrées dans un SIG. Ces informations complémentaires constituent un apport fondamental pour une climatologie spécifiquement intéressée au fonctionnement local du climat. L’enjeu est celui d’une compréhension des facteurs de la répartition des phénomènes climatiques dans l’espace.

1. Terrain et données

1.1. Les données climatiques

Les données concernant la température proviennent de Météo France, organisme national chargé du réseau d’observation sur l’ensemble du territoire. Enfin les « normales » sont calculées sur la base des enregistrements effectués entre 1971 et 2000. Compte tenu de la problématique, les tests méthodologiques présentés ici porteront uniquement sur les moyennes mensuelles de température collectées en 651 stations (figure 1A). Les 111 stations du réseau où sont enregistrées les durées d’insolation (figure 1B) seront seulement utilisées dans la section 2 (description de la méthode des interpolations locales).

thumbnail Figure 1

Localisation des 651 stations qui enregistrent la température en France (A) et des 111 stations qui enregistrent l’ensoleillement (B). Localisation of the 651 temperature (A) and the 111 sunshine (B) stations in France.

1.2. Les données environnementales

1.2.1. Acquisition

Les données géographiques et environnementales interviennent dans la modélisation comme variables explicatives (Arnaud et Emery, 2000). L’opération demande la constitution d’une base de données à référence spatiale. A cette fin, deux sources d’information ont été mobilisées pour produire les données requises au format raster, à 250 m de résolution.

L’occupation du sol provient de la base de données européenne Corine Land Cover dont les données vectorielles initiales ont été rastérisées. De cette source, plusieurs informations sont dérivées. D’abord, un indice de végétation a été reconstitué à partir des types d’occupation du sol auxquels on a attribué une valeur d’indice standard (5 pour le bâti dense de centre ville, aéroport, etc.; 250 pour la forêt compacte). Cet indice fournit une approximation de l’abondance de la biomasse au voisinage des points considérés (Joly, 2007). Ensuite, les distances aux principaux types d’occupation du sol (distance à la forêt, distance à l’océan ou à la mer le plus proche) sont calculées.

L’information topographique provient du Modèle numérique de terrain (MNT) distribué par l’Institut Géographique National (IGN); cette couche est livrée avec une précision métrique en altitude. Des procédures, fondées sur l’algèbre cartographique et sur la trigonométrie, permettent de dériver de nouvelles variables à partir de cette source. Citons la pente, l’orientation des versants, la rugosité topographique qui est un indicateur des irrégularités de relief (elle peut être nulle en présence de plat ou sur un versant parfaitement rectiligne), l’indice d’encaissement ou de surélévation (un fond de vallée exigu prend une valeur négative tandis qu’un point dominant est doté d’une valeur positive), le rayonnement global théorique qui est calculé pour l’équinoxe en tenant compte des masques topographiques jusqu’à cinq kilomètres autour de chaque point.

Au total, la base ainsi constituée comporte 3 couches dérivées de Corine Land Cover et 6 dérivées du MNT qui seront autant de variables candidates à l’explication de la variation spatiale de la température. L’ensemble du territoire analysé comporte 8 704 283 cellules.

Certaines variables explicatives présentent une forte covariation. Le coefficient de corrélation entre l’altitude et la rugosité (0,62), l’altitude et la pente (0,69), l’altitude et l’indice de végétation (0,38) et, dans une moindre mesure, l’altitude et la distance à la mer (0,23) en sont les exemples les plus nets. Cet aspect ne serait pas gênant si notre objectif était uniquement d’estimer des températures en vue de leur interpolation. Toutefois, l’existence d’une colinéarité peut perturber les estimations des paramètres du modèle (Foucart, 2006). Les principales conséquences de la colinéarité statistique entre les variables explicatives sont les suivantes :

  • les coefficients de régression estimés peuvent être élevés en valeur absolue;

  • leurs signes peuvent être contraires à l’intuition;

  • les variances des estimateurs peuvent être élevées;

  • les coefficients de régression et le coefficient de corrélation multiple sont instables par rapport aux coefficients de corrélation entre les variables explicatives.

La colinéarité statistique crée donc des difficultés importantes dans l’interprétation des résultats. Par exemple, le fait que le signe d’un coefficient de régression puisse être changé par la colinéarité devient gênant pour étudier l’effet propre d’une variable Xj sur Y. En fait, dans la mesure où nous serons amenés à comparer l’influence respective apportée par plusieurs variables sur les températures mensuelles grâce aux coefficients de corrélation, il nous a paru préférable de supprimer l’influence apportée par l’altitude et les variables qui en sont dérivées. Il existe plusieurs méthodes visant à limiter la colinéarité des variables explicatives :

  • la régression des moindres carrés partiels (Wold et al., 1984; Helland, 1990) avec laquelle on obtient des estimateurs successifs en considérant les résidus comme une nouvelle variable dépendante;

  • les régressions pas à pas (Hocking, 1976) où, en limitant le nombre de variables explicatives suivant leurs coefficients de corrélation partielle avec la variable expliquée, on réduit les colinéarités éventuelles.

Nous avons choisi la première méthode (PLS, ‘Partial Least Squares’) pour supprimer les colinéarités entre l’altitude et la plupart des autres variables explicatives. Après avoir appliqué les transformations qui en résultent, il s’avère qu’une ultime colinéarité existe entre la pente et la rugosité (r=0,49). Il conviendra de garder ce fait à l’esprit lors de l’interprétation ultérieure des résultats : une corrélation élevée entre deux variables n’induit pas nécessairement qu’elles sont colinéaires; d’autre part, il y a souvent des variables omises corrélées à des variables présentes (le modèle est mal spécifié). Tout cela peut générer des biais malaisés à contrôler. Par ailleurs, la méthode de sélection pas à pas des variables explicatives significatives entrant dans le modèle de régression (section 2.3) tend également à réduire les colinéarités.

2. Méthodes d’interpolation

Rappelons que les données d’observation du climat sont stationnelles et régionalisées. Elles sont repérées dans un espace à deux dimensions (l’altitude est considérée comme attribut des pixels et non comme dimension). Quand elles sont intégrées dans un SIG, ces données sont caractérisées par des attributs géographiques connus sur l’ensemble du territoire et archivés sous la forme de couches de données (Mitas et Mitasova, 1999).

2.1. Régression et krigeage globaux

Par global, nous entendons que les calculs portent sur toutes les stations disponibles. Les deux premières méthodes d’interpolation que nous utiliserons sont, d’abord une méthode statistique fondée sur des régressions (Joly et al., 2003), ensuite une méthode déterministe, le krigeage ordinaire (Matheron, 1970; Courault et Monestiez, 1999; Gratton, 2002; Baillargeon, 2005). Leurs avantages et inconvénients respectifs méritent d’être précisés.

2.1.1. Régressions

Rappelons brièvement que le modèle linéaire exprime mathématiquement la relation entre une variable statistique, appelée variable expliquée ou dépendante et notée Y (chacune des 12 températures mensuelles), et p variables appelées variables explicatives ou indépendantes X1, …, Xp (les variables archivées dans le SIG : altitude, pente, etc.). On note n le nombre d’individus statistiques considérés, yi la ième observation de la variable Y et celle de la variable Xj. Pour simplifier, nous supposons dans toute la suite que ces variables sont centrées et réduites :

Le modèle linéaire est défini par l’équation matricielle ci-dessous :

dans laquelle :

  • Y est le vecteur (y1, y2, ..., yn) des n valeurs observées de la variable expliquée Y;

  • X est la matrice des données à n lignes et p colonnes, la colonne j (de 1 à p) étant définie par le vecteur ();

  • β= (β1,…, βp) est le vecteur des coefficients de régression;

  • ε est le vecteur des résidus (ε1, ε2, …, εn) défini par un échantillon indépendant de la variable résiduelle ε de variance σ2.

Les régressions ne tiennent pas compte de la distance qui sépare les stations. C’est pourquoi elle seront surtout efficaces en secteur hétérogène où des écarts élevés peuvent survenir sur de courtes distances. Or, en secteur homogène, la distance a un fort pouvoir explicatif puisque, les deux variables d’intérêt et les variables attributaires présentent toutes des gradients réguliers. En ce cas, il est préférable de recourir au krigeage.

2.1.2. Krigeage

Rappelons brièvement que le krigeage est défini comme une méthode d’estimation linéaire optimale et non-biaisée qui utilise les propriétés structurales du semi-variogramme. Celui-ci permet de déterminer si la distribution du ou des paramètres étudiés est régionalisée (i.e. possède une structure spatiale), aléatoire ou périodique. Le modèle théorique de semi-variogramme met en jeu la semi-variance γ(h) qui est fonction de l’intervalle d’échantillonnage (h) et dont l’équation, pour les n(h) points xi et xj séparés par une distance h=|xi xj|, est donnée par :

L’utilisation du semi-variogramme est soutenue par l’hypothèse stipulant que l’espérance mathématique existe et prend la même valeur à tous les points, que la fonction de covariance est finie et qu’elle est une fonction unique de la distance h séparant les observations (stationnarité du second ordre). Nous avons utilisé une fonction linéaire pour ajuster le semi-variogramme.

2.1.3. Limite des régressions et du krigeage

Ces deux méthodes étant complémentaires, une solution intéressante est de les associer dans une même procédure : régression des variables climatiques sur les variables environnementales, puis krigeage des résidus ainsi obtenus. L’opération est, dans son principe, analogue au krigeage avec dérive externe (Goovaerts, 1997; Wackernagel, 2003).

Appliqués globalement, régressions et krigeage fournissent de bons résultats lorsque l’analyse est circonscrite à une aire climatologiquement cohérente. En revanche, lorsque l’interpolation s’applique à des zones plus vastes et hétérogènes comme la France, les résultats sont de moindre qualité. La technique fonctionne, mais la statistique est perturbée par des contraintes discordantes, parfois opposées. Outre l’opposition entre plaines et montagnes, l’espace est sous la dépendance de systèmes climatiques distincts. Or, le fonctionnement de chacun d’eux est, sinon autonome, du moins assez largement indépendant; de sorte que les processus responsables des variations spatiales du climat ne jouent pas partout de manière analogue. C’est pourquoi les facteurs spatiaux explicatifs étant différents d’un système à l’autre, la statistique « globale » produit un modèle général « brouillé », qui n’est vraiment satisfaisant nulle part.

2.2. Les interpolations locales

Ces considérations nous ont amené à tester une quatrième méthode qui consiste à aborder l’interpolation de manière locale afin que la principale source d’erreur des interpolations globales qui vient d’être soulignée soit, sinon gommée, du moins réduite. Cette méthode est, dans ses principes, analogue à la méthode de la « régression locale » (Cleveland et Devlin, 1988) nommée aussi « régression Kernel » (Wand et Jones, 1995). Précisons que, dans cette dernière, l’estimation de la régression est faite par des estimateurs à noyau (kernel) qui permettent de pondérer spatialement les coefficients de régression en fonction de la distance (géographique) entre points de mesure. La régression locale est une méthode d’interpolation qui consiste à modéliser les variations de la variable d’intérêt grâce à des polynômes dont les régresseurs sont les coordonnées des stations (Baillargeon, 2005). Il s’agit, en fait, de calculer des surfaces de tendances locales assorties d’une pondération des données selon la distance; c’est pourquoi Fotheringham et al. (2002) nomment cette méthode « Geographically Weighted regression ».

La méthode présentée reprend de la « régression locale », le principe de considérer un corpus de points d’observations situés dans le voisinage d’une cellule à interpoler, mais elle en diffère par le choix des régresseurs. Il s’agit ici d’estimer la variable d’intérêt grâce à des variables explicatives disponibles dans un SIG (telles que l’altitude, la pente, le NDVI, etc.) sans qu’il y ait besoin d’affecter une pondération en fonction de la distance. Son objectif étant également différent de la « régression locale », nous l’appellerons « interpolation locale ».

La méthode d’interpolation locale enchaîne trois étapes :

  • la reconnaissance des n stations les plus proches du point d’estimation et la partition du territoire par des polygones circonscrits selon une règle de voisinage,

  • l’analyse par régression multiple dans le cadre de chaque polygone,

  • l’application des coefficients aux cellules qui composent chaque polygone.

Deux options de sélection des stations appartenant à un voisinage sont possibles. La première est fondée sur un critère de distance : on regroupe toutes les stations inscrites à distance fixe (10 km, 50 km, 100 km, etc.) d’une cellule à interpoler. En ce cas, le nombre de stations varie selon la densité du réseau. Cela est très gênant pour les analyses statistiques ultérieures lorsque, la distance fixée étant trop réduite et le réseau trop lâche, le nombre de stations inscrites à l’intérieur de l’aire de recherche est trop faible. C’est, par exemple, ce qui se produit dans la Creuse où seulement quatre stations enregistrant la température apparaissent à moins de 50 km de la station La Souterraine, la plus proche se situant à 30 km. Il en va tout autrement autour de Paris où on trouve respectivement 10 et 16 stations à 25 et 50 km du centre.

La seconde option est fondée sur la recherche d’un nombre (fixe) de stations : on recherche 20, 30, 100, n stations autour de la cellule à interpoler. Dans ce cas, c’est la surface des aires à l’intérieur desquelles les n stations se situent qui varie en fonction de la densité du réseau. Ainsi, en moyenne, le rayon de l’aire de recrutement de La Souterraine varie de 88 à 178 km quand n passe de 20 à 100. Malgré cet inconvénient, c’est la seconde option qui a été retenue puisqu’elle assure aux calculs une base statistique suffisante dans tous les cas.

2.2.1. Choix du paramètre n et maillage de l’espace

Le paramètre n détermine l’aire sur laquelle l’information sera collectée pour résoudre les régressions :

  • avec un n peu élevé (par exemple n=20), l’aire de recrutement des stations est restreinte. L’avantage est que les 20 stations étant proches, elles présentent une forte cohésion climatologique. En contrepartie, la statistique est peu sûre : les seuils de signification sont assez élevés et, corrélativement, le nombre des variables explicatives retenues dans l’équation de régression a de grandes chances d’être peu important.

  • Avec un n élevé (100 par exemple), on conforte la statistique. Mais, l’aire de recrutement des stations devient très large. Aussi, la probabilité d’intégrer des zones climatiques différentes devient forte, ce qui peut poser problème pour la cohérence des modèles.

2.2.2. Nombre de polygones

Dans la procédure de définition des voisinages et compte tenu de la densité des stations, il est très probable que deux cellules voisines se raccordent aux mêmes n stations. Il s’en suit que le rassemblement, au sein de la même unité spatiale (un polygone), de toutes les cellules qui se rattachent aux mêmes n stations est avantageux. En effet, plutôt que de reproduire les mêmes calculs de régression pour toutes les cellules composant un polygone, on les fera une seule fois par polygone, les coefficients et constantes associés étant valables pour toutes les cellules appartenant à la même unité spatiale.

Pour aborder cette question, prenons l’exemple du réseau qui enregistre la durée de l’insolation : le nombre des stations (111) étant moindre que celui des températures, la démonstration sera plus simple. Avec n = 1, chacun des 111 polygones (1 par station) couvre une surface moyenne de 4900 km2 (inscrite dans un cercle de 40 km de rayon). Mais, lorsque n augmente, le tracé des polygones se modifie et leur nombre p augmente. Avec n = 2, p passe à 290 puis à 1273 pour n =10 et ainsi de suite comme le montre la figure 2. Le nombre p de polygones croît jusqu’au maximum, obtenu avec n = 41 (p = 2545), pour ensuite baisser jusqu’à la fin du processus qui est obtenu lorsque n = 111 (p = 1).

thumbnail Figure 2

Nombre p de polygones selon le paramètre n pour 111 stations d’ensoleillement. Number of p polygons built according to n for the111 sunshine stations.

2.2.3. Configuration du maillage

La figure 3 montre que le maillage s’organise à la manière des polygones de Thiessen (De Berg et al., 2000) lorsque n = 1. Chaque polygone présente entre 3 et 6 faces. Même s’ils sont de taille analogue, des différences apparaissent localement, en raison des écarts de densité régionale et de la localisation irrégulière des postes météorologiques dans l’espace français. Avec n = 20, la situation se modifie. La taille des polygones périphériques augmente, tandis que celle des polygones centraux diminue. Ce contraste se renforce avec n = 50 et se poursuit quand n = 100 : une centaine de polygones centraux très réduits s’oppose alors aux 150 autres, parfois gigantesques, qui couvrent le reste de l’espace. Cette transformation des polygones s’explique par un effet de bordure : lorsque l’on se situe en périphérie de l’espace français, les stations disponibles étant toutes situées vers l’intérieur, les recherches des stations proches s’effectuent dans une seule direction. Pour pallier ce défaut, il serait possible d’appliquer un buffer d’une cinquantaine de kilomètres empiétant sur les espaces continentaux qui appartiennent aux pays voisins. Cela n’a pas été fait ici en raison de la difficulté à obtenir ces informations spatiales et climatiques. De plus, cette solution ne résout par le problème des bordures de l’espace français en contact avec les mers ou l’océan.

thumbnail Figure 3

maillage obtenu pour quatre valeurs de n. Polygons network for n=1, n=20, n=50 and n=100.

Précisons enfin que le nombre de stations communes à deux polygones connexes s’établit à n-1. Cela signifie que la proportion des stations communes augmente avec n : 95% pour n = 20, 98% pour n = 50, 99% pour n = 100, etc. Ainsi, puisque la formule des n stations les plus proches se modifie légèrement d’un polygone à l’autre, le procédé est analogue à celui d’une moyenne mobile, à la différence que le calcul d’une régression remplace ici celui d’une moyenne et que le fenêtrage n’est pas régulier.

2.2.4. Le nombre des polygones varie aussi selon les variables considérées

Le tableau 1 montre comment le nombre de polygones varie selon n et selon le nombre de stations composant les réseaux considérés (l’ensoleillement et les températures avec respectivement 111 et 651 stations). Comme le nombre de polygone influe sur les temps de calcul, il convient d’ajuster n avec soin. Pour cette raison, nous reportons maintenant notre attention sur le cas des températures dont le réseau de mesures est plus dense et engendre un plus grand nombre de polygones à traiter.

Tableau 1

Comparaison du nombre de polygones calculé pour quatre n différents et appliqué au réseau des stations observant l’ensoleillement et la température. Number of polygons given by four values of n for sunshine and temperature network.

2.3. Analyses par régression

Dans le cadre d’une analyse globale, un seul processus d’analyse est effectué (il s’appuie sur l’ensemble du jeu de données). Dans le cadre d’une analyse locale, les analyses sont reproduites autant de fois qu’il y a de polygones. Le problème est de choisir des valeurs de n qui soient suffisamment élevées (contrainte statistique). Dans la mesure où la variable climatique (température dans notre cas) est expliquée par un maximum de 9 variables explicatives (3 dérivées de Corine Land Cover et 6 du MNT), n ne doit pas s’abaisser en dessous d’une valeur qui ferait perdre trop de degrés de liberté. Même si les tests de significativité permettent d’évaluer la pertinence des variables retenues dans le cas de petits échantillons, il est admis qu’un trop faible nombre d’individus entrant dans des calculs de régression est à éviter. Compte tenu de toutes les remarques qui ont été formulées précédemment (aspect du maillage, durée des calculs, proportion des stations communes entre deux polygones connexes), nous avons choisi, pour les exemples développés ci-dessous, de ne pas donner à n une valeur inférieure à 20. En revanche, une valeur élevée de n, favorable d’un strict point de vue statistique (Loader, 2004), devient un handicap pour des raisons de temps de calcul. C’est pour cela que la valeur de n, pour les tests que nous avons choisis de présenter, s’établira entre 20 et 100.

La procédure, effectuée une seule fois dans le cas d’une analyse globale, mais réitérée pour chaque polygone dans le cas d’une analyse locale, enchaîne les phases suivantes :

  • une régression linéaire simple entre la moyenne mensuelle de température (variable expliquée) et les neufs variables explicatives archivées dans le SIG (section 1.2.), permet d’abord de calculer le coefficient de corrélation (r) et la constante (intercept) associés à chacune de ces dernières. Ensuite, grâce au r, on identifie les prédicteurs significatifs au seuil de 5%. Par sélection ascendante pas à pas, ces prédicteurs candidats sont ensuite systématiquement intégrés dans des régressions multiples, deux à deux, puis trois à trois, etc., jusqu’à la combinaison qui les rassemble tous. La combinaison qui fournit le R2 le plus élevé est sélectionnée.

  • Des régressions multiples (dont les régresseurs sont ceux de la combinaison qui vient d’être identifiée) sont réalisées autant de fois qu’il y a de stations; à chaque itération, une station est rejetée et n’intervient pas dans la détermination des paramètres de l’équation. L’application du modèle permet d’évaluer le résidu de l’estimation (validation croisée). Précisons que ce dernier est obtenu par soustraction : température observée – température calculée.

  • Enfin, en vue de l’interpolation, on détermine une dernière fois les paramètres de l’équation en ayant recours à l’ensemble du corpus; le R2 est également calculé.

L’interpolation elle-même est ensuite effectuée en chacune des 8 704 283 cellules de 250 m de côté que compte la France. Il y a évidemment autant d’analyses que de températures mensuelles à estimer.

3. Comparaison des quatre méthodes d’interpolation

3.1. Qualité des estimations

La qualité des interpolations est évaluée grâce à la valeur des résidus obtenus de la validation croisée : valeurs extrêmes, fréquence des valeurs élevées, écart type dont une valeur est fournie par moyenne mensuelle de température et pour chacun des quatre types d’analyse. L’ensemble de ces indices et de ces mesures de dispersion montre que des écarts importants s’établissent d’une méthode à l’autre. Ces écarts, qui vont dans le même sens, sont cohérents et permettent de classer les types d’analyse quant à la qualité des estimations produites.

3.1.1. Les régressions globales

Dans le cadre de la régression globale, la sélection pas à pas des régresseurs qui entrent dans le modèle de variation spatiale de chacune des 12 températures moyennes mensuelles, conduit à combiner entre trois et quatre régresseurs (tableau 2). L’altitude est toujours sélectionnée : selon le mois considéré, le r de Pearson varie de -0,80 (mars) à -0,56 (juillet). La température moyenne d’hiver est donc plus sensible à l’altitude que celle d’été. La distance à la mer (réduite de sa covariation avec l’altitude) suit un mouvement analogue; elle n’intervient pas en tant que facteur explicatif en mai et en juin. L’influence apportée par les autres variables est plus modeste. La végétation (distance à la forêt et NDVI) influence la température au printemps et au début de l’été, à un moment de forte croissance. La rugosité et la pente sont substitutives : elles sont toujours présentes dans la fonction d’estimation de la température (à l’exception de juillet et de septembre) en alternance (seul août associe l’une et l’autre).

Tableau 2

r de Pearson (x 100) des variables utilisées dans les régressions multiples des températures mensuelles. Pearson r (x 100) of the variables used in multiple regressions applied to monthly mean temperature.

La valeur des résidus n’est pas la même tout au long de l’année. La figure 4 indique que la valeur d’écart type est la plus faible en hiver (1°C) et qu’elle culmine à plus de 1,6°C en été. Ponctuellement, certaines stations présentent des erreurs d’estimations très élevées. Côté résidus négatifs, le maximum (en valeur absolue) atteint -4,7°C (en août à Sizun, dans le Finistère); le résidu positif extrême, 4,9°C, affecte Roquesteron (Alpes-Maritines) en août. Enfin, précisons que 1,9% des résidus dépassent 3°C en valeur absolue, tandis que les résidus faibles (inférieurs à 1°C) représentent 60% de la population.

thumbnail Figure 4

Ecart type des résidus issus des quatre démarches selon le mois de l’année. Standard deviation for the four methods (regression, kriging, regression+residuals kriging and local interpolation) from January to December.

3.1.2. Le krigeage

Le krigeage fournit de meilleurs résultats avec des écarts type voisins de 0,9°C (0,8°C en hiver, 1°C au printemps et en été). Ponctuellement (figure 5B), des écarts importants apparaissent aussi avec le krigeage : les résidus extrêmes s’établissent à -6,9 (Isola en août) et +4,9°C (Mouthiers en avril). La fréquence des résidus supérieurs à 3°C en valeur absolue est de 1,4 %; la fréquence des résidus faibles est de 83%.

thumbnail Figure 5

Comparaison entre les températures observées et les températures estimées pour les quatre méthodes au mois de juillet. Cross graph comparing « real » (x) and estimated (y) temperature for regression method (A), kriging (B), regression+residuals kriging (C) and local interpolation (D) in July.

3.1.3. Régressions puis krigeage

L’autocorrélation spatiale des résidus issus de la phase de régression est mesurée par le coefficient de Moran qui rapporte les covariances locales, calculées entre des points voisins, à la variance globale. Il s’écrit sous la forme suivante :

Où :

  • zi = valeur de la variable au point “i” et de moyenne z,

  • i = unité de référence,

  • j = unités voisines du point “i”, définies par la matrice wij,

  • n = nombre total d’individus dans l’échantillon,

  • m = nombre total de paires de voisins,

  • wij = valeur de pondération (ici, fixée à 1 pour 2 points contigus, à 0 dans les autres cas)

L’indice de Moran se rapproche de -1 ou de +1 en présence d’autocorrélation spatiale négative ou positive, et oscille autour de zéro dans le cas d’une absence d’autocorrélation. La démarche qui enchaîne régressions et krigeage améliore encore les résultats. En effet, l’indice de Moran appliqué aux résidus issus de la phase des régressions varie de 0,72 à 0,80 selon les mois considérés, ce qui indique la présence d’une forte autocorrélation et justifie le recours au krigeage. Après application de ce dernier, l’écart type des résidus tombe à 0,72°C avec, ici encore, une meilleure estimation des températures d’hiver (0,5°C) que d’été (0,75°C). Les valeurs extrêmes s’établissent à -3,7 et 3,5°C. Enfin, la fréquence des résidus élevés (> 3°C en valeur absolue) devient insignifiante (0,1%) alors que celle des résidus faibles dépasse 90%.

3.1.4. Régressions locales

C’est finalement la méthode des régressions locales (testée ici avec n = 30) qui est la meilleure. L’écart type des résidus est presque pour tous les mois inférieur à 0,4°C (exceptés mai et août) et parfois proche de 0,3°C (avril, octobre, novembre). Les résidus ne sont jamais inférieurs à -2°C ou supérieurs à 1,9°C. La fréquence des valeurs comprise entre -1°C et 1°C s’établit désormais à 98% tandis que le R2 atteint 0,96 (figure 5D).

3.2. Influence de n sur l’écart type des résidus

L’opération précédente a permis de mesurer l’écart type des résidus issus des quatre méthodes. La méthode des régressions locales a été paramétrée avec n = 30, mais d’autres valeurs sont possibles. Afin d’évaluer l’influence de ce paramètre sur la qualité des estimations, nous avons réalisé six analyses successives en modifiant n, depuis n = 20, jusqu’à n = 100 (figure 6).

thumbnail Figure 6

Comparaison des écarts types des températures mensuelles obtenus d’une méthode globale et de la méthode des régressions locales pour n variant de 20 à 100. Standard deviation of monthly temperatures obtained from the global regression+residuals kriging method (plain line) and from local interpolation for six n values.

Il apparaît clairement que les meilleurs résultats, tous mois confondus, sont apportés par la plus faible valeur de n (20). En ce cas, les écarts types évoluent entre 0,25°C (novembre) à 0,39°C (août). Avec un n = 30, les écarts types sont régulièrement supérieurs d’environ 0,5°C. Par la suite, les écarts tendent à s’amenuiser : +0,5°C entre n = 30 et n = 50 et entre n = 50 et n = 100. Les écarts types obtenus avec n = 100 sont près de 1,7°C plus élevés qu’avec n = 20. Rien n’indique que cette tendance pourrait se renverser. En fait, les valeurs d’écart type tendant à augmenter avec n, on peut imaginer que, quand ce paramètre sera très grand, les écarts types seront très proches de ceux donnés par la méthode globale (régression + krigeage).

Ce comportement est logique du point de vue de l’espace. Avec n = 20, les 20 stations intégrées dans les régressions sont réparties sur un territoire restreint dont les caractéristiques environnementales et climatiques sont cohérentes, de sorte que les estimations sont excellentes. Mais, à mesure que n augmente, les régressions intègrent des stations de plus en plus éloignées du cœur initial des 20, ce qui tend à rendre le corpus de plus en plus hétérogène, de plus en plus semblable à celui de l’espace français global. La qualité des corrélations s’en ressent de sorte que les écarts type augmentent. Si ces remarques jouent en faveur du choix d’un n peu élevé, il convient de préciser que, a contrario, la significativité diminue avec n (on a moins de degrés de liberté).

3.3. Interpolations

Compte tenu des contraintes qui ont été énoncées dans les sections 2.2 et 3.2, la méthode des régressions locales a été développée, pour les interpolations qui suivent, avec n = 30. Il s’agit d’un moyen terme entre des valeurs plus faibles, peu fiables du point de vue statistique et des valeurs plus élevées, peu adaptées au problème posé (aire de recrutement des stations géographiquement trop vaste, temps de calcul importants). Ainsi, ce ne sont pas moins de 25 618 régressions, une par polygone, qui sont effectuées.

Pour chacune des méthodes d’interpolation, les paramètres issus des analyses sont ensuite appliqués en chacune des 8 704 283 cellules de la grille en vue de reconstituer le champ continu des températures en France. Treize variables relatives à la température ont été analysées (températures mensuelles et moyenne annuelle). Afin de ne pas allonger le propos, seule l’interpolation de la température moyenne de juillet sera présentée.

3.3.1. Interpolation de la température moyenne de juillet

Les résultats apportés par chacune des quatre méthodes sont illustrés par une carte (figure 7).

thumbnail Figure 7

Températures prédites par les quatre démarches au mois de juillet. Estimated temperature calculated by the four interpolation methods in July.

La fonction de régression issue des tests fait intervenir les paramètres suivants :

L’équation qui en résulte s’établit comme suit :

La carte met en évidence le rôle structurant de l’altitude : les massifs montagneux, froids, s’opposent au reste du territoire où les versants ont une température supérieure aux zones planes. La température décroît de 0,36°C par 100 m. La distance à la mer est également un facteur de différenciation : Besançon, ville semi continentale de l’est, s’oppose à Brest située à la pointe ouest du pays, avec une température plus basse de 2,6°C. Enfin, l’indice de végétation montre que les secteurs dénudés (centre ville, minéral) sont plus chauds de 1,2°C que les secteurs végétalisés (forêts).

Le krigeage délivre une carte où les montagnes les plus hautes ressortent avec une température inférieure à 16°C. En opposition, la bordure méditerranéenne et son prolongement vers le nord, entre Marseille et Lyon le long de la vallée du Rhône, prennent des valeurs qui dépassent 22°C. La carte issue d’un couplage entre régressions et krigeage des résidus montre bien le rôle distinct de chaque modèle : le krigeage tend à lisser les distributions tandis que les régressions révèlent le rôle joué par la topographie dans la finesse de ses contrastes où s’exprime la variabilité locale. Enfin, la figure 7D résulte de l’interpolation locale. D’autres facteurs, telle que l’occupation du sol, sont également perceptibles (par exemple îlot de chaleur dû à l’influence de l’agglomération parisienne sur les températures). Les effets topographiques locaux sont évidemment mieux mis en valeur ici. Précisons que la phase de krigeage des résidus n’a pas été appliquée pour la raison donnée ci-dessous (section 3.3.3).

3.3.2. Cartographie des résidus

Les résidus obtenus d’une validation croisée sont interpolés par krigeage de manière à obtenir un champ continu des erreurs d’estimation produites par les quatre modèles. La carte résultant de la méthode des régressions globales (figure 8A) montre que les valeurs extrêmes opposent le nord (résidus négatifs) au sud de la France (résidus positifs).

thumbnail Figure 8

résidus des températures produits par les quatre démarches au mois de juillet; les valeurs, ponctuelles, obtenues par validation croisée ont été krigées pour être cartographiées. Maps of temperature residuals for the four interpolation methods in July.

Le krigeage (figure 8B) fournit de meilleurs résultats puisque les grisés moyens (résidus compris entre -0,5 et +0,5°C) occupent une part plus large de la carte. Les valeurs en contraste se densifient dans le Centre et le Sud-Est, ne laissant qu’un semis de taches dispersés sur le reste du territoire, révélant là des effets de pépite. Les résidus issus des deux dernières méthodes sont encore plus faibles et, surtout de moins en moins concentrés sur des zones cohérentes. La méthode des régressions locales (figure 8D) donne l’impression d’un fond constitué de résidus globalement très faibles, piqueté de taches réduites où les valeurs sont marquées par des écarts plus forts.

3.3.3. Autocorrélation des résidus

La question se pose maintenant de savoir s’il subsiste une autocorrélation des résidus qui pourrait être krigée à l’issue de la phase d’analyse locale dont on vient de comparer les résultats avec ceux des trois autres méthodes. La figure 9 montre que l’autocorrélation ne se répartit pas d’une manière homogène sur le territoire : faible dans les Alpes, les Pyrénées, le Roussillon et les Cévennes, les Pays de la Loire et la Normandie, le Nord, elle est élevée dans les Ardennes et la Lorraine, la Bretagne, la Bourgogne, le Lyonnais, le Massif central et le Bassin aquitain. Une telle situation est gênante car la théorie du krigeage stipule que cette méthode ne peut être bien utilisée que si le même modèle de distribution spatiale vaut en tout lieu; or ce n’est pas le cas. De fait, le krigeage, calculé globalement à partir d’une situation aussi hétérogène, améliore très peu les performances des régressions locales et entraîne même, parfois, une augmentation de la valeur des résidus : en juillet, le krigeage dégrade les résultats obtenus par la régression : l’écart type des résidus passe de 0,35°C à 0,41°C.

thumbnail Figure 9

Coefficient de Moran des résidus des températures du mois de juillet. Moran’s coefficient for the temperature residuals of July.

4. Cartographie des coefficients et constantes

La méthode des régressions locales conduit à segmenter l’espace français en un grand nombre de polygones plus ou moins vastes. Pour chacun d’eux, les régressions simples entre la température et les neuf variables explicatives permettent d’abord de connaître le r de Pearson et l’intercept attaché à chacune d’elles. Chacun de ces coefficients fournit des renseignements spécifiques sur le fonctionnement du climat local. Leur cartographie offre ainsi des perspectives intéressantes concernant la compréhension des processus climatiques à une échelle locale. Nous nous appuierons sur l’exemple de la température de juillet pour montrer l’intérêt d’une telle démarche.

4.1 Variation spatiale du coefficient de détermination

Le coefficient de détermination est une mesure du taux d’explication de la variance. Les zones où le R2 est élevé (>0,9) correspondent aux espaces montagneux, à l’Alsace, à la Région parisienne et à la Région rennaise (figure 10). L’altitude, puissant facteur explicatif de la variation spatiale de la température joue vraisemblablement un rôle clef dans cette répartition. Le cas de la région parisienne, d’altitude modeste, s’explique d’abord par l’influence de l’îlot de chaleur urbain, ici, autre facteur explicatif de la variation spatiale de la température (Joly, 2007); la densité des stations joue sans doute aussi un rôle dans la valeur élevée du R2.

thumbnail Figure 10

Variation spatiale du R2 pour les températures de juillet. Determination coefficients map for July.

L’Est et le Sud du Bassin parisien, la vallée de la Loire, la façade atlantique, le Bassin aquitain ainsi que la Camargue et la basse vallée du Rhône présentent des R2 inférieurs à 0,5 en maints endroits. Ce sont des régions de faible altitude, présentant, en outre, des dénivellations réduites. Dans ces conditions, l’altitude ne peut plus jouer un rôle aussi important que dans les régions de montagne. Pourtant, d’autres facteurs, tels que la distance à la mer, pourraient prendre le relais de l’altitude en tant que facteur explicatif de la température et, ainsi, entraîner un R2 à la hausse; ce n’est pas ce qui se produit. La Camargue, région homogène s’il en est, conforte cette hypothèse dans ce sens où l’influence de la mer y est d’autant moins sensible que le vent dominant est continental (mistral).

4.2 Variation spatiale du coefficient de corrélation entre température et altitude

La variation spatiale sur l’espace français du r de la régression simple entre température de juillet et altitude (figure 11) confirme l’interprétation concernant la variation spatiale du coefficient de détermination qui vient d’être faite (section 4.1). Les secteurs où le R2 est élevé sont également dotés d’un r inférieur à -0,80. L’Alsace, quoique plate et d’altitude modeste, est concernée par des r élevés car le corpus des 30 stations qui servent au calcul des régressions mord sur le massif vosgien qui dépasse 1 200 m en plusieurs endroits. Les r inférieurs à -0,8 localisés au centre du bassin parisien sont plus difficiles à expliquer. Les dénivellations y sont peu accusées, quelques dizaines de mètres entre le fond des vallées et les plateaux environnants. Le relief peu difficilement avoir une influence aussi forte sur la température. Peut-être faut-il voir là l’influence de variables cachées derrière l’altitude : la distribution de l’occupation du sol notamment. Si la densité du bâti est forte au fond des vallées et faible ailleurs, on se trouve en présence d’une co-variation entre l’altitude et cette autre variable.

thumbnail Figure 11

r de Pearson issu de la régression entre les températures de juillet et l’altitude. Correlation temperature / elevation coefficients map for July.

4.3 Variation spatiale de la constante liée à l’altitude

La valeur de la constante (intercept) renseigne sur le gradient thermique vertical de la température. La valeur globale de juillet (-0,0031) correspond à une diminution de la température de 0,31°C pour 100 m. Les secteurs concernés par une valeur de la constante comprise entre -0,002°C et -0,005°C, plage de valeurs centrée sur la valeur globale de juillet, concernent plus de 75% du territoire (figure 12). Ils sont tous caractérisés par des r élevés (zones montagneuses notamment).

thumbnail Figure 12

Variation spatiale de la constante (intercept) liée à l’altitude en juillet. Temperature/elevation intercept map for July.

Les zones aux valeurs inférieures à -0,006°C sont sujettes à des gradients thermiques altitudinaux très marqués (0,7 et 0,8°C/100 m ou plus). Elles se répartissent en de nombreuses taches sur le bassin parisien et en Bretagne notamment. Ces forts gradients peuvent s’expliquer par des écarts thermiques exacerbés entre des zones basses surchauffées et des zones situées plus haut (même modestement) beaucoup plus fraîches, bien ventilées. Cette hypothèse est sans doute valable pour les gradients élevés situés en bordure de la frange atlantique.

Les valeurs de la constante inférieures à 0,002 indiquent que, localement, les gradients altitudinaux sont quasi inexistants (moins de 0,2°C/100 m). La plupart des zones concernées présentent également un r faible. Il s’agit vraisemblablement de secteurs où les écarts d’altitude sont trop faibles pour être à même d’engendrer une variation de température significative.

Conclusion

Les méthodes d’interpolation utilisées en climatologie sont nombreuses mais présentent toutes des limites de sorte que la qualité des estimations produites est très variable selon les contextes. Le choix d’une seule option est en général insuffisant et la mise en œuvre conjointe de méthodes complémentaires comme les régressions et le krigeage améliore les résultats. Le présent travail a également montré l’intérêt d’une approche locale de l’interpolation. Cette dernière s’appuie sur un corpus des n stations les plus proches de chaque cellule à estimer. Ce paramètre n est important car de lui dépend la vitesse d’exécution des calculs et la qualité des interpolations. Pour un n donné, les cellules dépendantes des mêmes « plus proches voisins » s’inscrivent dans un même polygone. Sur cette base, plusieurs milliers de polygones sont définis. Une analyse statistique de corrélation est opérée pour chacun : identification des estimateurs significatifs, choix de la formule de régression multiple, évaluation du résidu de l’estimation par validation croisée.

L’exemple choisi pour nos démonstrations a porté sur les moyennes mensuelles de température. Les résultats sont clairs : l’écart type des résidus issus de la méthode de régression locale (0,4°C) est plus faible de 0,2°C que celui issu de la méthode qui enchaîne une régression multiple globale et un krigeage des résidus, lui-même plus faible de 0,2°C que celui issu d’un krigeage. Cette hiérarchie est respectée quel que soit le mois considéré. Alors que les résidus issus du krigeage les plus élevés interviennent surtout en topographie contrastée (massifs montagneux, contact entre la montagne et son piémont), ils ne montrent pas de distribution préférentielle avec la méthode des régressions locales. Cette dernière permet en outre de cartographier d’autres variables que la seule variable d’intérêt, comme c’est le cas avec les méthodes globales. En effet, pour chacune des régressions effectuées (une par polygone), plusieurs valeurs sont disponibles et peuvent être cartographiées ainsi que les trois exemples fournis l’ont montré : cartographie du R2, cartographie du r et de la constante issus de la régression entre les températures et l’altitude. On aurait pu aussi cartographier les paramètres estimés des huit autres variables expliquées disponibles dans le SIG. De la même manière, il est possible d’analyser et de cartographier les résultats des analyses portant sur la température de tous les autres mois de l’année. Il serait alors possible de suivre l’évolution temporelle du R2, des intercepts, etc., au cours de l’année.

Enfin, bien d’autres variables expliquées, pour peu qu’elles soient enregistrées en un grand nombre de postes, pourraient être traitées par analyses locales : nombre de jours pour lesquels certains seuils thermiques (<-5°C, +30°C) ont été dépassés, volume et nombre de jours de précipitations pour chacun des mois de l’année, etc. Des tests portant sur les abats pluviométriques mensuels ont montré que les interpolations locales fournissent également de meilleurs résultats que les méthodes globales. Dans le même registre, il serait intéressant de suivre, jour après jour, la déformation de l’hétérogénéité spatiale des régressions en fonction de la modification des situations synoptiques.

De la sorte, l’étude du climat dans son comportement et dans ses variations à petite échelle dans le temps et l’espace est rendue possible. Une telle démarche peut permettre de un diagnostic des facteurs qui expliquent les variations spatio-temporelles du climat. Ces résultats pourraient donner matière à un atlas des climats : atlas des moyennes et des fréquences, mais aussi et surtout, atlas du fonctionnement spatial du climat.

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Liste des tableaux

Tableau 1

Comparaison du nombre de polygones calculé pour quatre n différents et appliqué au réseau des stations observant l’ensoleillement et la température. Number of polygons given by four values of n for sunshine and temperature network.

Tableau 2

r de Pearson (x 100) des variables utilisées dans les régressions multiples des températures mensuelles. Pearson r (x 100) of the variables used in multiple regressions applied to monthly mean temperature.

Liste des figures

thumbnail Figure 1

Localisation des 651 stations qui enregistrent la température en France (A) et des 111 stations qui enregistrent l’ensoleillement (B). Localisation of the 651 temperature (A) and the 111 sunshine (B) stations in France.

Dans le texte
thumbnail Figure 2

Nombre p de polygones selon le paramètre n pour 111 stations d’ensoleillement. Number of p polygons built according to n for the111 sunshine stations.

Dans le texte
thumbnail Figure 3

maillage obtenu pour quatre valeurs de n. Polygons network for n=1, n=20, n=50 and n=100.

Dans le texte
thumbnail Figure 4

Ecart type des résidus issus des quatre démarches selon le mois de l’année. Standard deviation for the four methods (regression, kriging, regression+residuals kriging and local interpolation) from January to December.

Dans le texte
thumbnail Figure 5

Comparaison entre les températures observées et les températures estimées pour les quatre méthodes au mois de juillet. Cross graph comparing « real » (x) and estimated (y) temperature for regression method (A), kriging (B), regression+residuals kriging (C) and local interpolation (D) in July.

Dans le texte
thumbnail Figure 6

Comparaison des écarts types des températures mensuelles obtenus d’une méthode globale et de la méthode des régressions locales pour n variant de 20 à 100. Standard deviation of monthly temperatures obtained from the global regression+residuals kriging method (plain line) and from local interpolation for six n values.

Dans le texte
thumbnail Figure 7

Températures prédites par les quatre démarches au mois de juillet. Estimated temperature calculated by the four interpolation methods in July.

Dans le texte
thumbnail Figure 8

résidus des températures produits par les quatre démarches au mois de juillet; les valeurs, ponctuelles, obtenues par validation croisée ont été krigées pour être cartographiées. Maps of temperature residuals for the four interpolation methods in July.

Dans le texte
thumbnail Figure 9

Coefficient de Moran des résidus des températures du mois de juillet. Moran’s coefficient for the temperature residuals of July.

Dans le texte
thumbnail Figure 10

Variation spatiale du R2 pour les températures de juillet. Determination coefficients map for July.

Dans le texte
thumbnail Figure 11

r de Pearson issu de la régression entre les températures de juillet et l’altitude. Correlation temperature / elevation coefficients map for July.

Dans le texte
thumbnail Figure 12

Variation spatiale de la constante (intercept) liée à l’altitude en juillet. Temperature/elevation intercept map for July.

Dans le texte

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